Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为 （θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．
（1）化曲线C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），经过点P作斜率为1的直线，l交曲线C2于A，B两点，求线段AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1的参数方程为 ，消去参数可得： ，表示焦点在y轴上的椭圆方程．

曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，可得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，

∴x2+y2=2x﹣4y，整理得（x﹣1）2+（y+2）2=5，表示以（1，﹣2）为圆心，半径r=5的圆．

（2）解：曲线C2与x轴的一个交点的坐标为P（m，0）（m＞0），令y=0，解得x=2，

∴P（2，0），可得直线l：y=x﹣2．

将曲线C1的参数方程带入直线l可得： sinθ=2cosθ﹣2．

整理可得：cos（ ）= ，即θ=2kπ或 ，（k∈Z）．

那么：A（2，0），B（﹣1，﹣3），

∴|AB|=

【解析】（1）根据sin2θ+cos2θ=1消去曲线C1的参数θ可得普通方程；根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 进行代换即得曲线C2的普通方程；（2）令曲线C2的y=0，求解P的坐标，可得过P的直线方程，参数方程的几何意义求解即可．