Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin（A-$\frac{π}{3}}）$）=$\sqrt{3}$，sin（B-C）=4cosBsinC，则$\frac{b}{c}$=$1+\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由已知可得sin（A-$\frac{π}{3}}）$）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围可求A=$\frac{2π}{3}$，将sin（B-C）=4cosBsinC展开后，转化可得sin（B+C）=6cosBsinC，利用正弦定理、余弦定理得b²=5c²+2bc，从而可得答案．

解答 解：∵2sin（A-$\frac{π}{3}}）$）=$\sqrt{3}$，可得：sin（A-$\frac{π}{3}}）$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），A-$\frac{π}{3}}）$∈（-$\frac{π}{3}}）$，$\frac{2π}{3}$），
∴A-$\frac{π}{3}}）$=$\frac{π}{3}}）$，解得：A=$\frac{2π}{3}$．…4分
又∵sin（B-C）=4cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=4cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=6cosBsinC，即sin（B+C）=6cosBsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinA=6cosBsinC，由正弦定理、余弦定理得a=6×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$×c，
可得：$\frac{1}{2}$（3b²-3c²）=a²=b²+c²-2bccos$\frac{2π}{3}$=b²+c²+bc，…10分
解得：b²=5c²+2bc，即：（$\frac{b}{c}$）²-2•$\frac{b}{c}$-5=0，
∴解得：$\frac{b}{c}$=1+$\sqrt{6}$，或1-$\sqrt{6}$（舍去）．
故答案为：$1+\sqrt{6}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．