Question

15．已知点A时抛物线M：x²=2py（p＞0）与圆N：（x+2）²+y²=r²在第二象限的一个公共点，满足点A到抛物线M准线的距离为r，若抛物线M上动点到其准线的距离与到点N的距离之和最小值为2r，则p=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，N，F三点共线时取得最小值，且有A为NF的中点，设出A，N，F的坐标，代入抛物线的方程可得p

解答 解：圆圆N：（x+2）²+y²=r²圆心N（-2，0），半径为r，
|AN|+|AF|=2r，
由抛物线M上一动点到其准线与到点N的距离之和的最小值为2r，
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点N的距离之和的最小值为2r，
可得A，N，F三点共线时取得最小值，且有A为NF的中点，
由N（-2，0），F（0，$\frac{p}{2}$），可得A（-1，$\frac{p}{4}$），
代入抛物线的方程可得，1=2p•$\frac{p}{4}$，
解得p=$\sqrt{2}$，

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，考查运算能力，属于中档题．