Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx，a∈R．

（1）若x＝2是函数f（x）的极值点，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若x＞1时，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) x+8y﹣1＝0，(2) （﹣∞，2]．

【解析】

（1）由x＝2是函数f（x）的极值点，可得，f′（2）＝0，代入可求a，然后结合导数的几何意义即可求解，

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解．

（1）∵f′（x），

由x＝2是函数f（x）的极值点，可得，f′（2）＝0，

∴a，

∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k＝f′（1），

又f（1）＝0

故y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y即x+8y﹣1＝0，

（2）若a≤2，x＞1时，f′（x）0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）＝0，符合题意，

若a＞2，方程x2+（2﹣2a）+1＝0的△＝4a2﹣8a＞0，

∴x2+（2﹣2a）+1＝0有两个不等的根，设两根分别为x1，x2，且x1＜x2，

∵x1+x2＝2a﹣2，x1x2＝1，

∴0＜x1＜1＜x2，＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（1，x2）时，x2+（2﹣2a）+1＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

f（x）＜f（1）＝0，不符合题意，

综上可得，a的范围（﹣∞，2]．