Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，1），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于不同的两点A、B，且

AP

=3

PB

．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及其标准方程；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，由条件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的离心率和标准方程．
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m 2x2+y2=1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0，由根的判别式和韦达定理知3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0，由此能求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，
可设C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
由条件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，
解得a=1，b=c=

2

2

故椭圆C的离心率为e=

c

a

=

2

2

，
其标准方程为：y2+

x2

1 2

=1
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m 2x2+y2=1

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*），
x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

∵

AP

=3

PB

∴-x₁=3x₂，
∴

x1+x2=-2x2 x1x2=-3 x 2 2

由此，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3(

-2km

k2+2

)2+4

m2-1

k2+2

=0
整理得4k²m²+2m²+k²-2=0，
m2=

1

4

时，上式不成立；
m2≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

，
因k≠0
∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0，
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
容易验证k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）

点评：本题考查椭圆的离心率及其标准方程，求实数m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆合理进行等价转化．