Question

【题目】在正方体中.

（1）求证：

（2）求异面直线与所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）60度.

【解析】

（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得；（2）连结AD1、CD1，可证出四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．等边△AD1C中求出∠D1AC=60°，即得异面直线AC与BC1所成角的大小．

（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥DD1，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD1∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD1，
∵BD1平面BDD1，∴AC⊥BD1；
（2）连结AD1、CD1，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB//C1D1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，
由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．
∵△AD1C是等边三角形，
∴∠D1AC=60°，即异面直线与所成角的大小为60度.

本试题主要是考查了线线垂直的证明，以及异面直线所成角的大小的求解.