Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax（a∈R）
（1）当a=2时，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（2）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），且F（x）在（0，+∞）有最大值，求a的取值范围．
（3）求函数H（x）=f（x）g（x）在[0，4]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，f（x）=|x-2|，g（x）=2x；从而可化为4x²|x-2|=4x；从而求x的集合；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=

(a-1)x+a，x≥a (a+1)x-a，x＜a

，由分段函数从而求得0＜a＜1；
（3）H（x）=f（x）g（x）=ax|x-a|=

ax2-a2x，x≥a a2x-ax2，x＜a

，从而讨论分段函数以求最大值，从而由分段函数写出．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=|x-2|，g（x）=2x；
故g²（x）f（x）=4x可化为4x²|x-2|=4x；
解得x=0或x=1或x=1+

2

；
故x的集合为{0，1，1+

2

}；
（2）F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|
=

(a-1)x+a，x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
则由分段函数知，

a-1＜0 a+1＞0

；
解得，0＜a＜1；
（3）H（x）=f（x）g（x）=ax|x-a|=

ax2-a2x，x≥a a2x-ax2，x＜a

，
当a＜0时，H（x）在[0，4]上是减函数，
故H_max（x）=H（0）=0；
当a=0时，H（x）=0；
当0＜a＜4；
当a＜x≤4时，H_max（x）=H（4）=16a-4a²，
当0≤x＜a时，H_max（x）=H（

a

2

）=

a3

4

；
令16a-4a²=

a3

4

解得，a=8

2

-8；
故当0＜a≤8

2

-8时，H_max（x）=H（4）=16a-4a²；
当8

2

-8＜a＜4时，H_max（x）=H（

a

2

）=

a3

4

；
当4≤a＜8时，H_max（x）=H（

a

2

）=

a3

4

；
当a≥8时，H_max（x）=H（4）=4a²-16a；
综上所述，H_max（x）=

0，a≤0 16a-4a2，0＜a≤8 2 -8 a3 4 ，8 2 -8＜a＜8 4a2-16a，a≥8

．

点评：本题考查了集合的求法及分段函数的应用，同时考查了分段函数的最值的求法，属于中档题．