Question

已知函数y＝f(x)的定义域是R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．并且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(1)＝－1．

(1)证明函数y＝f(x)是R上的减函数；

(2)证明函数y＝f(x)是奇函数；

(3)求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z，m＜n)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设x1，x2∈R，且x1＜x2，由题意得 　　f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)． 　　∴f(x1)－f(x2)＝－f(x2－x1)． 　　∵x1＜x2，∴x2－x1＞0． 　　又∵当x＞0时，f(x)＜0恒成立， 　　∴f(x2－x1)＜0． 　　∴f(x1)－f(x2)＞0． 　　∴函数y＝f(x)是R上的减函数． 　　(2)令a＝x，b＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)． 　　令a＝b＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)， 　　∴f(0)＝0． 　　∴f(x)＋f(－x)＝0． 　　∴函数y＝f(x)是奇函数． 　　(3)由(1)得函数y＝f(x)在[m，n]上是减函数，则有f(n)≤f(x)≤f(m)． 　　∵对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)， 　　∴f(m)＝f[(m－1)＋1]＝f(m－1)＋f(1)＝f(m－2)＋2f(1)＝…＝mf(1)＝－m， 　　同理，有f(n)＝－n． 　　∴函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z，m＜n)上的值域是[－n，－m]．

提示：

(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f(－x)＝f(x)；(3)利用单调法求函数的值域．