Question

8．在直角坐标系x0y中，椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，焦点在y轴上，椭圆与x轴交点坐标为（-1，0），（1，0），直线l：y=kx+1与椭圆交于A、B两点．
（1）求出椭圆的方程；
（2）若k=1，求△AOB的面积；
（3）是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，若存在，求实数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，利用已知条件求出椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用直线与椭圆的联立方程组，求出坐标，然后求解三角形的面积；
（3）设存在这样的实数k．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$，通过韦达定理结合数量积为0，求解即可．

解答 解：（1）因为焦点在y轴上，设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
由题知b=1，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，又${a^2}={b^2}+{c^2}=1+\frac{3}{4}{a^2}$，所以a²=4．
故曲线C的方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$． …（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=x+1.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-1\\{y_1}=0\end{array}\right.$，$\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=\frac{3}{5}}\\{{y_2}=\frac{8}{5}}\end{array}}\right.$…（6分）
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AO}||{y_2}|=\frac{1}{2}×1×\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$…（8分）
（3）设存在这样的实数k．再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$． …（10分）
若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$，
于是${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=0$，
化简得-4k²+1=0，所以$k=±\frac{1}{2}$．…（12分）
经检验$k=±\frac{1}{2}$都符合要求，所以存在这样的实数k，其值为$±\frac{1}{2}$…（14分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，存在性问题的处理方法，值得学习，考查计算能力．