分析 (1)设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$,利用已知条件求出椭圆的几何量,然后得到椭圆的方程.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用直线与椭圆的联立方程组,求出坐标,然后求解三角形的面积;
(3)设存在这样的实数k.设A(x1,y1),B(x2,y2),利用$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$,通过韦达定理结合数量积为0,求解即可.
解答 解:(1)因为焦点在y轴上,设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$,
由题知b=1,$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,即$c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$,又${a^2}={b^2}+{c^2}=1+\frac{3}{4}{a^2}$,所以a2=4.
故曲线C的方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$. …(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=x+1.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-1\\{y_1}=0\end{array}\right.$,$\left\{{\begin{array}{l}{{x_2}=\frac{3}{5}}\\{{y_2}=\frac{8}{5}}\end{array}}\right.$…(6分)
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AO}||{y_2}|=\frac{1}{2}×1×\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$…(8分)
(3)设存在这样的实数k.再设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1.\end{array}\right.$
消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,
故${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}},{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$. …(10分)
若$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$,即x1x2+y1y2=0.
而${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k({x_1}+{x_2})+1$,
于是${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=0$,
化简得-4k2+1=0,所以$k=±\frac{1}{2}$.…(12分)
经检验$k=±\frac{1}{2}$都符合要求,所以存在这样的实数k,其值为$±\frac{1}{2}$…(14分)
点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆的方程的求法,存在性问题的处理方法,值得学习,考查计算能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 正 | B. | 负 | C. | 等于0 | D. | 无法确定 |
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