Question

9．如图1，等腰梯形BCDP中，BC∥PD，BA⊥PD于点A，PD=3BC，且AB=BC=1．沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置（如图2），使∠P'AD=90°．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面P'AC；
（Ⅱ）求三棱锥A-P'BC的体积；
（Ⅲ）线段P'A上是否存在点M，使得BM∥平面P'CD．若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出P'A⊥AD，AB⊥AP'．从而P'A⊥面ABCD．进而P'A⊥CD，再求出AC⊥CD．由此能证明CD⊥平面P'AC．
（Ⅱ）由V_A-P'BC=V_P'-ABC，能求出三棱锥A-P'BC的体积．
（Ⅲ）取P'A中点M，P'D中点N，连结BM，MN，NC，推导出四边形BCNM为平行四边形，由此能求出存在一点M，M为P'A的中点，使得BM∥面P'CD．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为∠P'AD=90°，所以P'A⊥AD．
因为在等腰梯形中，AB⊥AP，所以在四棱锥中，AB⊥AP'．
又AD∩AB=A，所以P'A⊥面ABCD．
因为CD?面ABCD，所以P'A⊥CD．…（3分）
因为等腰梯形BCDE中，AB⊥BC，PD=3BC，且AB=BC=1．
所以$AC=\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{2}$，AD=2．所以AC²+CD²=AD²．
所以AC⊥CD．
因为P'A∩AC=A，所以CD⊥平面P'AC． …（5分）
（Ⅱ）因为${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}BC•AB=\frac{1}{2}$，…（7分）
P'A⊥面ABCD．
所以${V_{A-P'BC}}={V_{P'-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•P'A=\frac{1}{6}$．   …（9分）
（Ⅲ）存在一点M，M为P'A的中点，使得BM∥面P'CD，…（10分）
证明：取P'A中点M，P'D中点N，连结BM，MN，NC，
因为M，N为中点，所以MN∥$\frac{1}{2}AD$，因为BC∥$\frac{1}{2}AD$，BC=$\frac{1}{2}AD$，
所以MN∥BC，MN=BC．
所以四边形BCNM为平行四边形．…（12分）
所以BM∥CN．
因为BM?面P'CD，CN?面P'CD．
所以BM∥平面P'CD．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．