Question

徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a＞0）．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

分析：（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；
（2）利用基本不等式可得

500a

v

+5v≥100

a

，当且仅当

500a

v

=5v，即v=10

a

时，等号成立，进而分类讨论可得结论．

解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

500

v

，全程运输成本为y=a×

500

v

+0.01v²×

500

v

=

500a

v

+5v …．（4分）
故所求函数及其定义域为y=

500a

v

+5v，v∈（0，100]…．（6分）
（2）依题意知a，v都为正数，故有

500a

v

+5v≥100

a

，当且仅当

500a

v

=5v，即v=10

a

时，等号成立…（8分）
①若10

a

≤100，即0＜a≤100时，则当v=10

a

时，全程运输成本y最小．（10分）
②若10

a

＞100，即a＞100时，则当v∈（0，100]时，有y′=-

500a

v2

+5=

5(v2-100a)

v2

＜0．
∴函数在v∈（0，100]上单调递减，也即当v=100时，全程运输成本y最小．…．（14分）
综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤100时行驶速度应为v=10

a

千米/时；当a＞100时行驶速度应为v=100千米/时．…（16分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．