Question

考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用．
已知函数f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

，x≥0，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为函数在x=1处取极值，所以f'（1）=0求出a即可；
（2）求出f′（x），再进行分类讨论：当a≥2时，f（x）在区间（0，+∞）上递增，f（x）的最小值为f（0）=1．
当0＜a＜2时，可确定f（x）的单调减区间，单调增区间从而可知，f（x）在x=

2-a a

处取得最小值，不合，故可求a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．
因f（x）在x=1处取得极值，故f'（1）=0，解得a=1 （经检验）．…（4分）
（2）f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，因x≥0，a＞0，故ax+1＞0，1+x＞0．
当a≥2时，在区间（0，+∞）上f'（x）≥0，f（x）递增，f（x）的最小值为f（0）=1．
当0＜a＜2时，由f'（x）＞0，解得x＞

2-a a

；由f'（x）＜0，解得x＜

2-a a

．
∴f（x）的单调减区间为(0，

2-a a

)，单调增区间为(

2-a a

，+∞)．
于是，f（x）在x=

2-a a

处取得最小值f(

2-a a

)＜f(0)=1，不合．
综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．…（10分）
注：不检验不扣分．

点评：本题以函数为载体，考查学生利用导数研究函数极值的能力，考查复合函数求导的基础知识以及导数知识的综合应用，注意分类讨论思想的运用