Question

2．设函数f（x）=x²+bx-3，对于给定的实数b，f（x）在区间[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），记g（b）=M（b）-m（b）．
（1）当b＞2时，求g（b）的解析式；
（2）求g（b）的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的对称轴，得到区间[b-2，b+2]在对称轴的右边，从而求出函数f（x）在区间上单调递增，进而求出最大值，最小值，得到g（b）的表达式；
（2）通过讨论b的范围，得到函数f（x）在区间上的最值，从而求出g（b）的表达式，进而求出g（b）的最小值．

解答 解：（1）当b＞2时，对称轴x=-$\frac{b}{2}$＜-1，b-2＞0，
∴f（x）在区间[b-2，b+2]上递增，
此时M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，
∴g（b）=M（b）-m（b）=12b；
（2）f（x）=${（x+\frac{b}{2}）}^{2}$-3-$\frac{{b}^{2}}{4}$，抛物线开口向上，其对称轴方程为x=-$\frac{b}{2}$，
下面就对称轴与区间[b-2，b+2]端点的相对位置分段讨论：
①当0≤b≤$\frac{4}{3}$时，b-2≤-$\frac{b}{2}$≤b+2且（b+2）-（-$\frac{b}{2}$）≥-$\frac{b}{2}$-（b-2），
此时M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=-3-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
g（b）=$\frac{9}{4}$b²+6b+4；
②当-$\frac{4}{3}$≤b＜0时，b-2≤-$\frac{b}{2}$≤b+2且（b+2）-（-$\frac{b}{2}$）≤-$\frac{b}{2}$-（b-2），
此时M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，$m（b）=-3-\frac{b^2}{4}$，
$g（b）=\frac{9}{4}{b^2}-6b+4$；
③当b＞$\frac{4}{3}$时，-$\frac{b}{2}$＜b-2，f（x）在区间[b-2，b+2]上递增，
此时M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，
g（b）=12b；
④当b＜-$\frac{4}{3}$时，-$\frac{b}{2}$＞b+2，f（x）在区间[b-2，b+2]上递减，
此时M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，
g（b）=-12b；
综上所得：g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-12b，b＜-\frac{4}{3}}\\{{\frac{9}{4}b}^{2}-6b+4，-\frac{4}{3}≤b＜0}\\{{\frac{9}{4}b}^{2}+6b+4，0≤b≤\frac{4}{3}}\\{12b，b＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
当b＜-$\frac{4}{3}$时，g（b）=-12b＞g（-$\frac{4}{3}$）=16，
当-$\frac{4}{3}$≤b＜0时，g（b）=$\frac{9}{4}$b²-6b+4递减，g（b）＞g（0）=4，
当0≤b≤$\frac{4}{3}$时，g（b）=$\frac{9}{4}$b²+6b+4递增，g（b）≥g（0）=4，
当b＞$\frac{4}{3}$时，g（b）=12b＞g（$\frac{4}{3}$）=16，
综上，当b=0时，[g（b）]_min=4．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，（2）讨论时较复杂，求出g（b）的表达式是解题的关键，本题有一定的难度．