Question

过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设所求的直线方程，点的坐标代入方程后使用基本不等式，可求面积的最小值，注意检验等号成立条件．
（2）设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，
注意检验等号成立条件．

解答：解：（1）设所求的直线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由已知

2

a

+

1

b

=1．
于是

2

a

•

1

b

≤(

2 a + 1 b

2

)2=

1

4

，当且仅当

2

a

=

1

b

=

1

2

，即a=4，b=2时，取最大值，
即S△AOB=

1

2

•ab取最小值4．
故所求的直线l的方程为

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，得A(2-

1

k

，0)，B(0，1-2k)．
则|PA|•|PB|=

(4+4k2)(1+ 1 k2 )

=

8+4(k2+ 1 k2 )

≥4，
当且仅当k²=1，即k=±1时，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1，这时l的方程为x+y-3=0．

点评：本题考查直线方程的几种形式的应用，利用基本不等式求式子的最值，一定不要忘记检验等号成立的条件是否具备，属于基础题．