Question

6．已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}={a_n}+{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=a_n+log₂$\frac{1}{an}$=2ⁿ+log₂$\frac{1}{2n}$=2ⁿ-n．利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出Sn．再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项
∴a₁（2+q²）=3a₁q   ①，a₁（q+q³）=2a₁q²+4   ②
由①及a₁≠0，得q²-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
当q=1时，②式不成立；
当q=2时，符合题意，
把q=2代入②得a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=a_n+log₂$\frac{1}{an}$=2ⁿ+log₂$\frac{1}{2n}$=2ⁿ-n．
∴S_n=2-1+2²-2+2³-3+…+2ⁿ-n
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-2n）}{1-2}$-$\frac{n（1+n）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{2}$n²．
∵S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，
∴2ⁿ⁺¹-2-$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{2}$n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
∵n∈N^*，故使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值为10．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．