Question

（本小题满分14分） 已知函数．

（1）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值并求点P的坐标；（2）若函数与的图象有两个不同的交点M、N，求的取值范围；（3）在（Ⅱ）的条件下，过线段MN的中点作轴的垂线分别与的图像和的图像交S、T点，以S为切点作的切线，以T为切点作的切线．是否存在实数使得，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）不存在实数

解析:

（Ⅰ）设函数与的图象的公共点，则有  ①

又在点P有共同的切线∴代入①得设所以函数最多只有1个零点，观察得是零点，∴，此时…5分

（Ⅱ）方法1 由

令

当时，，则单调递增

当时，，则单调递减，且

所以在处取到最大值，

所以要使与有两个不同的交点，则有   10分

方法2 根据（Ⅰ）知当时，两曲线切于点，此时变化的的对称轴是，而是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即，两曲线有两个不同的交点，当时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以.

（Ⅲ）不妨设，且，则中点的坐标为

      以S为切点的切线的斜率

     以T为切点的切线的斜率

如果存在使得，即          ①

      而且有和

     如果将①的两边同乘得

   即  设，则有

   令 

∵，∴因此在上单调递增，故

所以不存在实数使得．…………… 14分