Question

设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是双曲线的左右焦点，P为双曲线上的一点，且，则此双曲线的离心率的取值范围是________．

Answer 1

[）
分析：设P（m，n），得=m²-c²+n²=-c²，整理得：m²+n²=c²…（1）．根据点P（m，n）是双曲线上的点，得n²=b²（-1），代入（1）式并整理得：m²=c²-a²…（2）．最后根据m满足m²≥a²，代入（2）式解关于a、c的不等式，得c，由此即可得出此双曲线的离心率的取值范围．
解答：设P（m，n），得，
∴=（-c-m）（c-m）+n²=-c²，即m²+n²=c²，…（1）
∵P（m，n）是双曲线上的点，
∴，解得n²=b²（-1），代入（1）式得
m²-b²=c²，整理得：m²=c²-a²，…（2）
∵点P在双曲线上，横坐标满足|m|≥a
∴m²≥a²，代入（2）式，得c²-a²≥•a²=c²
化简，得≥a²，所以c，
因此双曲线的离心率e=≥，得e∈[）
故答案为：[）
点评：本题给出双曲线上点P指向两个焦点F₁、F₂的向量的数量积，求此双曲线离心率的取值范围，着重考查了向量数量积的公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．