Question

若对一切x∈[

1

2

，2]，使得ax²-2x+2＞0都成立．则a的取值范围为

a＞

1

2

．

Answer 1

分析：由ax²-2x+2＞0对一切x∈[

1

2

，2]恒成立可得，a＞

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]恒成立，构造函数 a(x)= 

2

x

-

2

x2

，x∈[

1

2

，2]从而转化为a＞a（x）_max结合函数 a(x)=

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]的最值可得．

解答：解：∵不等式ax²-2x+2＞0对一切x∈[

1

2

，2]恒成立，
a＞

2

x

-

2

x2

在x∈[

1

2

，2]恒成立
构造函数 a(x)=

2

x

-

2

x2

，x∈[

1

2

，2]
∴a＞a（x）_max
设

1

x

=t，由于x∈[

1

2

，2]，所以t∈[

1

2

，2]
∵函数 a(x)=

2

x

-

2

x2

=2t-2t²在t∈[

1

2

，2]单调递减，
故a（x）在t=

1

2

时取得最大值

1

2

，
∴a＞

1

2

．
故答案为：a＞

1

2

．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），体现了转化思想在解题中的应用．