Question

16．如图所示，点E，F在以AB为直径的圆O（O为圆心）上，AB∥EF，平面ABCD⊥平面ABEF，且AB=2，AD=EF=1
（Ⅰ）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；
（Ⅱ）求证：AF⊥面CBF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证AF⊥平面FBC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面FBC内两相交直线垂直，而BC⊥AF，BF⊥AF，BC∩BF=B，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM与平面DAF内一直线平行即可，取FD中点N，连接MN、AN，易得OM∥ON，找出了定理的条件．

解答 解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
BC?平面ABCD，而四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AF?平面ABEF，
∴BC⊥AF，
∵BF⊥AF，BC∩BF=B，
∴AF⊥平面FBC；
（Ⅱ）取FD中点N，连接MN、AN，则MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD，
又四边形ABCD为矩形，
∴MN∥OA，且MN=OA，
∴四边形AOMN为平行四边形，
∴OM∥AN，
又∵OM?平面DAF，AN?平面DAF，
∴OM∥平面DAF．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，属于中档题．