Question

8．在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为AD，AB边上的点，△AEF的
周长为2；（Ⅰ）设∠BCF=α，∠ECD=β，$AE=AF=2-\sqrt{2}$，求tanα，tanβ．
（Ⅱ）求∠ECF的度数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据AE、AF的值求出DE和BF，在RT△CBF和RT△CDE中求出tanα，tanβ；
（Ⅱ）利用两角和的正切函数求出tan（α+β）的值，由α、β的范围求出α+β的值，再求出∠ECF的度数．

解答 解：（Ⅰ）∵$AE=AF=2-\sqrt{2}$，∴DE=BF=$\sqrt{2}-1$，
在RT△CBF中，tanα=$\frac{BF}{BC}$=$\sqrt{2}-1$，
在RT△CDE中，tanβ=$\frac{DE}{DC}$=$\sqrt{2}-1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$
=$\frac{2（\sqrt{2}-1）}{1-（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\frac{2（\sqrt{2}-1）}{1-（3-2\sqrt{2}）}$=1，
∵α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α+β=$\frac{π}{4}$，
则∠ECF=$\frac{π}{2}$-（α+β）=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查两角和的正切函数，以及正切函数的定义，注意角的范围和正切函数的符号，属于中档题．