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【文科生做】已知圆E:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)
(1)证明不论m取什么实数,直线与圆恒交于两点;
(2)设P(x,y)是圆E上任意一点,求x+y的取值范围.
分析:(1)把直线l的方程变形后,根据直线l恒过定点,得到关于x与y的二元一次方程组,求出方程组的解即为直线l恒过的定点坐标,然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d,发现d小于圆的半径,得到此点在圆内,故直线l与圆恒交于两点;
(2)根据圆的参数形式表示出方程(x-1)2+(y-2)2=25,进而表述出x+y,再结合三角函数的最值可求得x+y的取值范围.
解答:解:(1)由m(2x+y-7)+(x+y-4)=0知直线l恒过定点,
2x+y=7
x+y=4
x=3
y=1

∴直线l恒过定点A(3,1),且(3-1)2+(1-2)2=5<25⇒A(3,1)必在圆内,
故直线l与圆恒有两交点.
(2)因为(x-1)2+(y-2)2=25,
令y=2+5sinα,则x=1+5cosα
所以x+y=3+5(sinα+cosα)=5
2
sin(α+
π
4
)+3
∵sin(α+
π
4
)的最小值为-1,最大值为1,
所以x+y的取值范围是:[3-5
2
,3+5
2
].
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,恒过定点的直线方程以及点与圆的位置关系.第一问的关键是求出直线l恒过的A点坐标,判定A在圆内;第二问关键是利用的参数形式进行解题.考查对圆的方程的另一种认识和运用.圆的参数形式有时可以给解题带来很大方便,一定要理解其形式.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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