Question

已知椭圆

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1（a₁＞b₁＞0）的离心率为

2

2

，双曲线

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（a₂＞0，b₂＞0）与椭圆有相同的焦点F₁，F₂，M是两曲线的一个公共点，若∠F₁MF₂=60°，则双曲线的渐进线方程为（　　）

• A、y=±

  2

  2

  x
• B、y=±x
• C、y=±

  2

  x
• D、y=±

  3

  x

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a₁，双曲线实轴为2a₂，令M在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义，以及余弦定理，离心率公式，得到a₁，a₂与c的关系，即可得到双曲线的渐近线方程．

解答： 解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a₁，双曲线实轴为2a₂，
令M在双曲线的右支上，
由双曲线的定义|MF₁|-|MF₂|=2a₂，①
由椭圆定义|MF₁|+|MF₂|=2a₁，②
又∵∠F₁MF₂=60°，
∴|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cos60°=4c²，③
由①②得，|MF₁|=a₁+a₂，|MF₂|=a₁-a₂，
代入③，得2（a₁²+a₂²）-（a₁²-a₂²）=4c²，
即a₁²+3a₂²=4c²，
由

c

a1

=

2

2

，则2c²=a₁²，a₂²=

2

3

c²，
即有b₂²=c²-a₂²=

1

3

c²，
则渐近线方程为y=±

b2

a2

x，即为y=±

2

2

x．
故选A．

点评：本题考查双曲线和椭圆的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，考查离心率公式的运用，属于中档题．