Question

已知空间向量，，•=，α∈（0，）．
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）设函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期和图象的对称中心坐标；
（3）求函数f（x）在区间上的值域．

Answer 1

解：（1）由题意可得=（sinα-1）+（1-cosα）=sinα-cosα= ①，且α为锐角．
平方可得1-2sinαcosα=，即sin2α=②．
由①②解得 sinα=，cosα=．
（2）∵函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x=4sin2x+4cos2x
=4sin（2x+），
故函数f（x）的最小正周期为=π．
令2x+=kπ，k∈z，可得x=，故对称中心的坐标为（，0），k∈z．
（3）由于当x∈ 时，（2x+）∈[-，-]，
故-1≤sin（2x+）≤-，-4 ≤4sin（2x+）≤-2，
故函数f（x）的值域为[-4 ，-2]．
分析：（1）由题意可得=sinα-cosα= ①，且α为锐角，平方可得sin2α=②，解①②可得sinα，cosα的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为4sin（2x+），由此求得最小正周期，以及对称中心的坐标
（3）由于当x∈ 时，（2x+）∈[-，-]，由此求得sin（2x+） 的范围，即可求得函数f（x）的值域．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的对称性、定义域和值域，属于中档题．