Question

已知函数f_n（x）=axⁿ+bx+c（a，b，c∈R），
（Ⅰ）若f₁（x）=3x+1，f₂（x）为偶函数，求a，b，c的值；
（Ⅱ）若对任意实数x，不等式2x≤f₂（x）≤

1

2

(x+1)2恒成立，求f₂（-1）的取值范围；
（Ⅲ）当a=1时，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用偶函数的定义和一次函数的解析式，即可得到a，b，c；
（Ⅱ）令x=1，则a+b+c=2，再由二次不等式恒成立，结合抛物线开口向上，且判别式不大于0，即可得到a的范围，进而得到所求范围；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4等价于在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，对b讨论，分b＞2时，0＜b≤2时，-2≤b≤0时，分别求出最大值和最小值，计算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由 f₁（x）=3x+1，f₂（x）为偶函数得

a+b=3 c=1 b=0

∴a=3，b=0，c=1；
（Ⅱ）由题意可知f₂（1）≥2，f₂（1）≤2，
∴f₂（1）=2，∴a+b+c=2，
∵对任意实数x都有f₂（x）≥2x，即ax²+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴

a＞0 (b-2)2-4ac≤0

，由a+b+c=2，∴（a+c）²-4ac≤0，
可得a=c，b=2-2a，
此时f2(x)-

1

2

(x+1)2=(a-

1

2

)(x-1)2，
∵对任意实数x都有f2(x)≤

1

2

(x+1)2成立，∴0＜a≤

1

2

，
∴f₂（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4等价于
在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下：
（ⅰ）当|

b

2

|＞1，即b＞2时，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．
（ⅱ） 当-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2时，M=f2(1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

+1)2≤4恒成立．
（ⅲ）当0≤-

b

2

＜1，即-2≤b≤0时，M=f2(-1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

-1)2≤4恒成立．
综上可知，-2≤b≤2．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查二次不等式的恒成立问题，注意运用图象和判别式的符号，考查函数的最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．