Question

【题目】已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为e= ，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设 （O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圆心O到直线l：x+y+8=0的距离为 ， ∴直线l被圆O截得的弦长为 ，
∵直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，
∴2a=4，∴a=2，
∵椭圆的离心率为e= ，
∴c=
∴b2=a2﹣c2=1
∴椭圆C的方程为： ；
（Ⅱ）∵ ，∴四边形OASB是平行四边形．
假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有 ，
设A（x1 ， y2），B（x2 ， y2），则x1x2+y1y2=0．
直线l的斜率显然存在，设过点（3，0）的直线l方程为：y=k（x﹣3），
由 ，得（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0，
由△=（﹣24k2）2﹣4（1+4k2）（36k2﹣4）＞0，可得﹣5k2+1＞0，即 ．
∴ = ，
由x1x2+y1y2=0得： ，满足△＞0．
故存在这样的直线l，其方程为
【解析】（Ⅰ）计算圆心O到直线l：x+y+8=0的距离，可得直线l被圆O截得的弦长，利用直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等，可求a的值，利用椭圆的离心率为e= ，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）由 ，可得四边形OASB是平行四边形．假设存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线长相等，则四边形OASB为矩形，因此有 ，设直线方程代入椭圆方程，利用向量的数量积公式，即可求得结论．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．