【题目】已知数列、满足,,其中,则称为的“生成数列”.
(1)若数列的“生成数列”是,求;
(2)若为偶数,且的“生成数列”是,证明:的“生成数列”是;
(3)若为奇数,且的“生成数列”是,的“生成数列”是,…,依次将数列,,,…的第项取出,构成数列.
探究:数列是否为等比数列,并说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】
试题(1)解:,,同理,;(2)只需按照定义证明即可,证明:,∵为偶数,将上述个等式中第2,4,6, ,这个式子两边取倒数,再将这个式子相乘得: ,因为,,所以根据“生成数列”的定义,数列是数列的“生成数列”;(3)因为,所以.
所以欲证成等差数列,只需证明成等差数列即可.
试题解析:(1)解:,
同理,. 4分
(写对一个得1分,总分4分)
(2)证明:
7分
∵为偶数,将上述个等式中第2,4,6, ,这个式子两边取倒数,再将这个式子相乘得:
∴9分
因为,
所以根据“生成数列”的定义,数列是数列的“生成数列”. 10分
(3)证明:因为,
所以.
所以欲证成等差数列,只需证明成等差数列即可. 12分
对于数列及其“生成数列”
∵为奇数,将上述个等式中第2,4,6, ,这个式子两边取倒数,再将这个式子相乘得:
∴
因为,
数列的“生成数列”为,因为
所以成对比数列.
同理可证,也成等比数列.即是等比数列.
所以成等差数列. 16分
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【题目】有一块圆心角为120度,半径为的扇形钢板(为弧的中点),现要将其裁剪成一个五边形磨具,其下部为等腰三角形,上部为矩形.设五边形的面积为.
(1)写出关于的函数表达式,并写出的取值范围;
(2)当取得最大值时,求的值.
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【题目】中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔(单位:分钟)满足,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔相关:当时高铁为满载状态,载客量为人;当时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与成正比,且发车时间间隔为分钟时的载客量为人.记发车间隔为分钟时,高铁载客量为.
求的表达式;
若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益最大?
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【题目】国际上钻石的重量计量单位为克拉;已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比,且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元;
(1)写出关于的函数关系式;
(2)若把一颗钻石切割成重量比为的两颗钻石,求价值损失的百分率;
(3)把一颗钻石切割成两颗钻石,若两颗钻石的重量分别为克拉和克拉,试用你所学的数学知识分析当,满足何种关系时,价值损失的百分率最大.
(注:价值损失的百分率,在切割过程中重量损耗忽略不计)
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【题目】一商场对5年来春节期间服装类商品的优惠金额(单位:万元)与销售额(单位:万元)之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下表格.
日期 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)画出散点图,并判断服装类商品的优惠金额与销售额是正相关还是负相关;
(2)根据表中提供的数据,求出与的回归方程;
(3)若2019年春节期间商场预定的服装类商品的优惠金额为10万元,估计该商场服装类商品的销售额.
参考公式:
参考数据:
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【题目】已知直线l方程为(m+2)x﹣(m+1)y﹣3m﹣7=0,m∈R.
(1)求证:直线l恒过定点P,并求出定点P的坐标;
(2)若直线l在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程.
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【题目】已知圆M与直线相切于点,圆心M在x轴上.
(1)求圆M的方程;
(2)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A,B两点,O为坐标原点,直线OA,OB分别与直线x=8相交于C,D两点,记△OAB、△OCD的面积分别是S1、S2.求的取值范围.
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