Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，S_n是数列{b_n}的前n项和，求使S_n＞42+4n成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，又a₂+a₃+a₄=28，故a₃=8．a₂+a₄=20．由此能够推导出a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，Sn=

n2+3n

2

．故由题意可得

n2+3n

2

＞42+4n，由此能求出满足条件的n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，将（1）代入得a₃=8．
所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20 a1q2=8

（3分）
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

（6分）
又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．（7分）
所以a_n=2ⁿ．（8分）
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，Sn=

n2+3n

2

．（10分）
故由题意可得

n2+3n

2

＞42+4n，
解得n＞12或n＜-7．又n∈N^*．（12分）
所以满足条件的n的最小值为13．（13分）

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活地运用公式解答．