Question

16．设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x³，则方程f（x-1）=cosπx（-2≤x≤4）所有实根的和为（　　）

• A． 12
• B． 10
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 根据条件判断函数的奇偶性和周期性，利用函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象问题，利用数形结合以及函数的对称性即可得到结论．

解答 解：∵f（-x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数，
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=f（2-x）=f（x-2），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（x）的简图如图（虚线），
将函数f（x）向右平移1个单位，得到函数f（x-1）的图象（红线），则函数f（x-1）关于x=1对称，
∵y=cosπx的图象也关于x=1对称，
∴由图象可知函数y=f（x-1）和y=cosπx，x∈[-2，4]共有10个交点，它们彼此关于x=1对称，
设对称的两个实根为a，b，
则a+b=2，
故所有的实根之和为5×2=10，
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合考查函数的性质．