分析 由三棱锥的对边相等可得三棱锥A-BCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥,求出长方体的棱长即可得出外接球的半径,从而计算出外接球的体积.
解答 解:∵AC=BD=BC=AD=$\sqrt{5}$,AB=DC=$\sqrt{2}$,
∴三棱锥A-BCD可看做对角线分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{2}$的长方体的对角线所组成的三棱锥,
设长方体的棱长为a,b,c,则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=5}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=2}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\\{{c}^{2}=1}\end{array}\right.$.
∴长方体的体对角线长为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$,即三棱锥的外接球的直径为$\sqrt{6}$,
∴外接球的半径为r=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{4}{3}×π×(\frac{\sqrt{6}}{2})^{3}$=$\sqrt{6}$π.
故答案为:$\sqrt{6}π$.
点评 本题考查了棱锥与外接球的位置关系,棱锥的体积计算,转化思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{3π}{4}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 6 | B. | 7 | C. | 8 | D. | 9 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | p∧q | B. | p∧(¬q) | C. | p∨(¬q) | D. | p∨q |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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