Question

6．已知三棱锥A-BCD中，AC=BD=BC=AD=$\sqrt{5}$，AB=DC=$\sqrt{2}$，则该三棱锥外接球的体积为$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 由三棱锥的对边相等可得三棱锥A-BCD为某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积．

解答 解：∵AC=BD=BC=AD=$\sqrt{5}$，AB=DC=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥A-BCD可看做对角线分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{2}$的长方体的对角线所组成的三棱锥，
设长方体的棱长为a，b，c，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=5}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\\{{b}^{2}+{c}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\\{{c}^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴长方体的体对角线长为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$，即三棱锥的外接球的直径为$\sqrt{6}$，
∴外接球的半径为r=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{4}{3}×π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π．
故答案为：$\sqrt{6}π$．

点评 本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，转化思想，属于中档题．