Question

13．设f（x，y）=x²+y²-2x+4y+4．
（I）若f（x，x）＞2ax²+2ax对于任意的实数x都恒成立，求实数a的最值范围；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使l被曲线C：f（x，y）=8截得的弦为AB，且以AB为直径的圆恰好过曲线C的中心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得（a-1）x²+（a-1）x-2＜0恒成立，讨论a=1，a＜1，判别式小于0，a＞1的情况，解不等式即可得到所求范围；
（Ⅱ）假设存在这样的直线l满足题意，由已知中圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，直线l的斜率为1，我们设出直线的斜截式方程，联立方程，根据韦达定理我们可以根据以AB为直径的圆过C，构造关于b的方程，解方程即可求判断是否存在直线l．

解答 解：（Ⅰ）f（x，x）＞2ax²+2ax对于任意的实数x恒成立，
即为2x²+2x+4＞2ax²+2ax，即（a-1）x²+（a-1）x-2＜0恒成立，
当a=1时，-2＜0恒成立；
当a＜1时，△=（a-1）²+8（a-1）＜0，解得-7＜a＜1；
当a＞1时，不等式不恒成立．
综上可得，实数a的最值范围是（-7，1]．
（Ⅱ）假设存在斜率为1的直线l，满足题意．
设直线l的方程为：y=x+b，
直线l被圆C截得的弦AB的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\end{array}\right.$，
得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0，
由题意得：△=（2+2b）²-8（b²+4b-4）＞0
得：-3-3$\sqrt{2}$＜b＜-3+3$\sqrt{2}$，
由韦达定理可得：x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$，①
又以AB为直径的圆过圆心（1，-2）．
∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+2）（y₂+2）=0，
又y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，
化简可得2x₁x₂+（1+b）（x₁+x₂）+5+4b+b²=0，
将①代入化简可得，b²+6b=0，
∴b=0或b=-6合题意，
故存在这样的直线l满足题意，且直线方程为：x-y=0和x-y-6=0．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用二次不等式恒成立的解法，同时考查直线和圆的方程的应用，其中本题所使用的“设而不求”+“联立方程”+“韦达定理”的方法是解答直线与圆锥曲线（包括圆）的关系时最常用的方法．