Question

已知椭圆的离心率e=

2

2

，一条准线方程为x=4，P为准线上一动点，以原点为圆心，椭圆的焦距|F₁F₂|为直径作圆O，直线PF₁，PF₂与圆O的另一个交点分别为M，N．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究直线MN是否经过一定点，若存在，求出该点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率e=

2

2

，一条准线方程为x=4，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（2）确定圆O的方程，设出直线PF₁的方程，代入圆的方程，确定M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，确定直线MN的方程，即可得到结论．

解答：解：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆的离心率e=

2

2

，一条准线方程为x=4，
∴

c a = 2 2 a2 c =4

∴a=2

2

，c=2
∴b²=a²-c²=4
∴椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由题意，F₁（-2，0），F₂（2，0），∴⊙O的方程为x²+y²=4
设P（4，m）则直线PF₁的方程为y=

m

6

(x+2)
代入圆的方程，可得（m²+36）x²+4m²x+4（m²-36）=0
∴x₁=-2，x₂=-

2(m2-36)

m2+36

∴M（-

2(m2-36)

m2+36

，

24m

m2+36

）
同理可得N（

2(m2-4)

m2+4

，

-8

m2+4

）
若MN⊥x轴，则-

2(m2-36)

m2+36

=

2(m2-4)

m2+4

，解得m²=12，此时点M，N的横坐标都为1，直线MN过定点（1，0）；
若MN与x轴不垂直，即m²≠12，此时，k_MN=

-8 m2+4 - 24m m2+36

2(m2-4) m2+4 + 2(m2-36) m2+36

=

-8m

m2-12

∴直线MN的方程为y-

-8

m2+4

=

-8m

m2-12

[x-

2(m2-4)

m2+4

]
即y=

-8m

m2-12

(x-1)
∴直线MN过定点（1，0），
综上，直线MN过定点（1，0）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．