Question

设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：恒过定点的直线

专题：直线与圆

分析：动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0过定点B（1，3）．无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．因此点P在以AB为直径的圆上，利用

2(|PA|2+|PB|2)

≥|PA|+|PB|≥|AB|，即可得出．

解答： 解：动直线x+my=0过定点A（0，0），
动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）+3-m=0过定点B（1，3）．
无论m=0，m≠0，都有此两条直线垂直．
∴点P在以AB为直径的圆上，
|AB|=

12+32

=

10

，|PA|²+|PB|²=10．
∴

2(|PA|2+|PB|2)

≥|PA|+|PB|≥|AB|，当且仅当|PA|=|PB|=

5

时取等号．
∴2

5

≥|PA|+|PB|≥

10

．
故答案为：[

10

，2

5

]．

点评：本题考查了“直线系”的应用、相互垂直的直线斜率之间的关系、圆的性质、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．