Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥面AEF；
（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角θ的正切值．

Answer 1

证明：（1）连接A₁C
正四棱柱?CB⊥平面ABB₁A₁?CB⊥AE
又∵AE⊥A₁B
∴AE⊥平面A₁BC?AE⊥A₁C
同理可得：AF⊥A₁C
∴A₁C⊥平面AEF
（2）∵AE⊥A₁B?Rt△ABA₁∽Rt△ABE?∠ABA₁=∠BEA，
如图EF的中点为N，AC 的中点为O，连结NO，则∠NAO=θ，
又 底面边长是，侧棱长是3
∴，
得 ，BE=1
同理 DF=1
又 ，
∴．
分析：（1）连接A₁C，证明AE⊥A₁C，AF⊥A₁C，利用直线与平面垂直的判定定理证明A₁C⊥面AEF；
（2）如图说明∠NAO=θ就是截面AEF与底面ABCD所成二面角θ，通过解三角形，求出AC，BE，即可求解θ的正切值．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．