Question

19．已知点列P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，P₁为直线l与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{C_n}满足C_n=$\frac{1}{n•|{P}_{1}{P}_{n}|}$（n≥2），求$\underset{lim}{n→∞}$（C₂+C₃+…+C_n）．
（3）若d_n=2d_n-1+a_n+1（n≥2）且d₁=1，求{d_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由已知得b_n=2a_n+1，从而数列{a_n}的公差为1，数列{b_n}的公差为2，求得P₁（0，1），由此求出a_n=n-1，b_n=2n-1．（n∈N^*）；
（2）运用两点的距离公式，可得C_n=$\frac{1}{n•|{P}_{1}{P}_{n}|}$（n≥2）=$\frac{1}{\sqrt{5}n（n-1）}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），运用裂项相消求和和数列的极限公式，计算即可得到所求；
（3）n≥2，d_n=2d_n-1+n，变形为d_n+n+2=2（d_n-1+n-1+2），运用等比数列的通项公式，即可得到所求．

解答 解：（1）∵点列P_n（a_n，b_n）在直线l：y=2x+1上，
∴b_n=2a_n+1，
∵P₁为直线l与y轴的交点，
∴P₁（0，1），∴a₁=0，b₁=1，
又数列{a_n}的公差为1，
∴a_n=n-1，（n∈N^*），
∴数列{a_n}的公差为2，
即有b_n=1+2（n-1）=2n-1．（n∈N^*）；
（2）∵p₁（0，1），p_n（a_n，b_n），
∴|P₁P_n|=$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+（{b}_{n}-1）^{2}}$=$\sqrt{（n-1）^{2}+（2n-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$（n-1），
∴C_n=$\frac{1}{n•|{P}_{1}{P}_{n}|}$（n≥2）=$\frac{1}{\sqrt{5}n（n-1）}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴C₁+C₂+…+C_n
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\frac{1}{n}$），
即有$\underset{lim}{n→∞}$（C₂+C₃+…+C_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（1-0）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（3）n≥2，d_n=2d_n-1+a_n+1=2d_n-1+n，
∴d_n+n+2=2（d_n-1+n-1+2），
∴数列{d_n+n+2}为等比数列，
首项为d₁+1+2=4，公比为2，
即有d_n+n+2=4•2^n-1，
可得d_n=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、两点之间的距离公式、极限的运算性质，考查构造法的运用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．