Question

设椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足＝，且AB⊥AF₂．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线l：x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；

(3)在(2)的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设B(x0，0)，由(c，0)，A(0，b)，知 　　， 　　由于即为中点．故 　　，故椭圆的离心率　4分 　　(2)由(1)知得于是(，0)，B， 　　△的外接圆圆心为(，0)，半径r＝＝，所以，解得＝2，∴c＝1，b＝，所求椭圆方程为．　8分 　　(3)由(2)知，： 　　；代入得 　　设，，则，　10分 　　 　　由于菱形对角线垂直，则 　　故，则 　　　12分 　　由已知条件知且；； 　　故存在满足题意的点P且的取值范围是．　13分