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(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,其中为常数,
(I)证明:
(II)是否存在,使得为等差数列?并说明理由.
(I)详见解析;(II)存在,.

试题分析:(I)对于含递推式的处理,往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式.结合结论,该题需要转换为项的递推式.故由.两式相减得结论;(II)对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.本题由,列方程得,从而求出.得,故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列.分别求通项公式,进而求数列的通项公式,再证明等差数列.
试题解析:(I)由题设,.两式相减得,
由于,所以
(II)由题设,,可得,由(I)知,.令,解得
,由此可得,是首项为1,公差为4的等差数列,
是首项为3,公差为4的等差数列,
所以
因此存在,使得为等差数列.
【考点定位】1、递推公式;2、数列的通项公式;3、等差数列.
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