Question

（05年浙江卷理）（14分）

如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

   (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

解析：解法一

(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF=,∴PA与平面PBC所成角为arcsin

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.

∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.

解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(a,0,0).

B(0, a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴又∥,

∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵k=则PA=2a,∴h=∴可求得平面PBC的法向量

∴cos.

设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos()|=.

∴PA与平面PBC所成的角为arcsin.

(Ⅲ)△PBC的重心G(),∴=().

∵OG⊥平面PBC,∴又∴,

∴h=,∴PA=,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.

∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.