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    （2013•大兴区一模）已知数列{an}的各项均为正整数，且a1＜a2＜…＜an，设集合Ak={x|x=
    n
    i=1
         λiai，λi=-1或λi=0，或λi=1}（1≤k≤n）．
    性质1：若对于?x∈Ak，存在唯一一组λi，（i=1，2，…，k）使x=
    n
    i=1
         λiai成立，则称数列{an}为完备数列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完备数列．
    性质2：若记mk=
    n
    i=1
         ai（1≤k≤n），且对于任意|x|≤mk，k∈Z，都有x∈AK成立，则称数列P{an}为完整数列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完整数列．
    性质3：若数列{an}同时具有性质1及性质2，则称此数列{an}为完美数列，当K取最大值时{an}称为K阶完美数列；
    （Ⅰ）若数列{an}的通项公式为an=2n-1，求集合A2，并指出{an}分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；
    （Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=10n-1，求证：数列{an}为n阶完备数列，并求出集合An中所有元素的和Sn．
    （Ⅲ）若数列{an}为n阶完美数列，试写出集合An，并求数列{an}通项公式．
    分析：（Ⅰ）先根据题中的新定义定出集合A2={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，再根据几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列的定义得出结论；
    （Ⅱ）对于?x∈An，先假设存在2组λi及μi（i=1，2…，n）使x=
    n
    i=1
    λiai    成立，则有(λ1-μ1)100+(λ2-μ2)101+…+(λn-μn)10n-1=0，从而必有λ1=μ1，λ2=μ2…λn=μn，从而得出数列{an}为n阶完备数列；再利用对?x∈An，x=
    n
    i=1
    λiai    ，则-x=-
    n
    i=1
    λiai=
    n
    i=1
    (-λi)ai    ，得到-x∈An，从而求出Sn的值；
    （Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知An中必有3n个元素，由（Ⅱ）知An中元素成对出现（互为相反数），且0∈An，又{an}具有性质2，从而得出数列{an}通项公式．
    解答：解：（Ⅰ）A2={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}；
    ∴{an}为2阶完备数列，2阶完整数列，2阶完美数列；
    （Ⅱ）若对于?x∈An，假设存在2组λi及μi（i=1，2…，n）使x=
    n
    i=1
    λiai    成立，则有λ1100+λ2102+…+λn10n-1=μ1100+μ2102+…+μn10n-1，即(λ1-μ1)100+(λ2-μ2)101+…+(λn-μn)10n-1=0，
    其中λi，μi∈{-1，0，1}，必有λ1=μ1，λ2=μ2…λn=μn，
    所以仅存在唯一一组λi（i=1，2…，n）使x=
    n
    i=1
    λiai    成立，
    即数列{an}为n阶完备数列；Sn=0，对?x∈An，x=
    n
    i=1
    λiai    ，则-x=-
    n
    i=1
    λiai=
    n
    i=1
    (-λi)ai    ，因为λi∈{-1，0，1}，则-λi∈{-1，0，1}，所以-x∈An，即Sn=0
    （Ⅲ）若存在n阶完美数列，则由性质1易知An中必有3n个元素，
    由（Ⅱ）知An中元素成对出现（互为相反数），且0∈An，又{an}具有性质2，
    则An中3n个元素必为An={-
    3n-1
    2
    ，-
    3n-3
    2
    ，…-1，0，1，…
    3n-3
    2
    ，
    3n-1
    2
    }    ．
    ∴an=3n-1．
    点评：本小题主要考查一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式，考查分析问题、解决问题的能力．属于难题．
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    2
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    x2
    4
    -
    y2
    5 
    =1
    x2
    4
    -
    y2
    5 
    =1
    ．

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