Question

2．如图所示，A、B、D、E四点在同一直线上，△ABC是边长为2的正三角形，DEFG是边长为2的正方形，在静止状态时，B点在D点的左侧，且$|{\overrightarrow{BD}}|=1$，让A点沿直线AB从左到右运动，当A点运动到E点时，运动结束．
（1）求在静止状态时，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的值；
（2）当A点运动时，求$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）在静止状态时，以D为原点建立如图所示直角坐标系，用坐标表示向量，再利用向量的数量积公式，即可求在静止状态时，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的值；
（2）当A点运动时，用坐标表示向量，再利用向量的数量积公式，即可求求$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的最小值．

解答 解：（1）在静止状态时，以D为原点建立如图所示直角坐标系，依题意得
$\overrightarrow{BF}$=（3，2），$\overrightarrow{CE}$=（4，-$\sqrt{3}$），则
$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$=12-2$\sqrt{3}$…（6分）
（2）在运动状态时，仍然如上图建立直角坐标系，
设A（m，0），依题意得-3≤m≤2，
这时$\overrightarrow{BF}$=（-m，2），$\overrightarrow{CE}$=（1-m，-$\sqrt{3}$），…（10分）
则$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$=m²-m-2$\sqrt{3}$=（m-$\frac{1}{2}$）²-2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{4}$
由-3≤m≤2知，当m=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CE}$的值最小，且最小值为-2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{4}$．…（15分）

点评 本题考查向量知识的运用，考查配方法，正确建立坐标系是关键．