Question

对于0＜a＜1，给出下列五个不等式：
①a

1

a

＞(

1

a

)a
②(1+

1

a

)a＞a1+

1

a

③(1-a)a＞(

1

a

-1)a
④log1+a(1+

1

a

)＞log1+

1

a

(1+a)
⑤loga(1+a)＞log

1

a

(1+

1

a

)
其中成立的不等式个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①由0＜a＜1知

1

a

＞-a，y=a^x是减函数，可以判定a

1

a

与a^-a（即(

1

a

)a）的大小；
②由0＜a＜1知(1+

1

a

)a＞1，a1+

1

a

＜1，可以判定(1+

1

a

)a与a1+

1

a

的大小；
③由0＜a＜1知0＜1-a＜

1

a

-1，可以判定（1-a）^a与(

1

a

-1)a的大小；
④由0＜a＜1知1＜1+a＜1+

1

a

，可以判定log_1+a（1+

1

a

）与log1+

1

a

（1+a）的大小；
⑤由0＜a＜1，可以判定log_a（1+a）与log

1

a

（1+

1

a

）的大小．

解答：解：①∵0＜a＜1，∴

1

a

＞-a，∴a

1

a

＜a^-a=(

1

a

)a，∴a

1

a

＞(

1

a

)a错误；
②∵0＜a＜1，∴(1+

1

a

)a＞1，0＜a1+

1

a

＜1，∴(1+

1

a

)a＞a1+

1

a

正确；
③∵0＜a＜1，∴

1-a

1 a -1

=a＜1，∴0＜1-a＜

1

a

-1，∴（1-a）^a＜(

1

a

-1)a，∴(1-a)a＞(

1

a

-1)a错误；
④∵0＜a＜1，∴1＜1+a＜1+

1

a

，∴log_1+a（1+

1

a

）＞1，0＜log1+

1

a

（1+a）＜1，∴log1+a(1+

1

a

)＞log1+

1

a

(1+a)正确；
⑤∵0＜a＜1，∴log_a（1+a）＜0，log

1

a

（1+

1

a

）＞0，∴loga(1+a)＞log

1

a

(1+

1

a

)错误；
所以，其中成立的不等式是②④；
故选：C．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了指数函数、对数函数的单调性的灵活应用问题；解题时要灵活应用a⁰=1，log_a1=0，log_aa=1（其中a＞0，且≠1）等知识．