Question

已知函数f（x）=

1

m

-

1

x

（x∈（0，+∞））．
（1）求证：函数f（x）是增函数；
（2）若函数f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]（0＜a＜b），求实数m的取值范围；
（3）若存在x∈（1，+∞），使不等式f（x-1）＞4x成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x₁、x₂是区间（0，+∞）内的任意两个实数，且x₁＜x₂，用单调性的定义证明；
（2）由（1）知，函数f（x）是增函数，则得

1 m - 1 a =2a 1 m - 1 b =2b

，即

2a2- 1 m •a+1=0 2b2- 1 m •b+1=0

．由此式a、b可视为方程 2x2-

1

m

•x+1=0的两个不相等的正实数根，用韦达定理限制即可；
（3）不等式f（x-1）＞4x，即为

1

m

-

1

x-1

＞4x．因为 x∈（1，+∞），上述不等式即为 4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

＜0．
令 g(x)=4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

，结合二次函数的性质解决．

解答： （1）证明：设x₁、x₂是区间（0，+∞）内的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则 f（x₁）-f（x₂）=（

1

m

-

1

x1

）-（

1

m

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

因为x₁、x₂是∈（0，+∞）），即 x₁x₂＞0，
又x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0．
于是  f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此，函数f（x）是增函数．
（2）解：由（1）知，函数f（x）是增函数，
则得

1 m - 1 a =2a 1 m - 1 b =2b

，
即

2a2- 1 m •a+1=0 2b2- 1 m •b+1=0

．
所以a、b可视为方程 2x2-

1

m

•x+1=0的两个不相等的正实数根，
于是 

△=(- 1 m )2-8＞0 a+b= 1 2m ＞0 ab= 1 2 ＞0

，解得 0＜m＜

2

4

．
（3）不等式f（x-1）＞4x，即为

1

m

-

1

x-1

＞4x．
因为 x∈（1，+∞），上述不等式即为 4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

＜0．
令 g(x)=4x2-(4+

1

m

)x+1+

1

m

，则其图象对称轴是直线x=

4+ 1 m

8

．
①

4+ 1 m 8 ≤1 g(1)＜0

，解得 m∈∅；
②

4+ 1 m 8 ＞1 △=[-(4+ 1 m )]2-16(1+ 1 m )＞0

，即 

0＜m＜4 m≠0 m＜ 1 8

，解得 0＜m＜

1

8

．
综上，所求实数m的取值范围是 (0，

1

8

)．

点评：本题主要考查函数的综合应用，关键是抓住条件，方程与函数相互转化，同时考查二次函数的有关性质，是一道综合题．