Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知BC=AA₁=1，AB=2，P是A₁B₁的中点，则直线PB与平面BB₁D₁D所成角的大小为

arcsin

10

10

．

Answer 1

分析：过点P作PH⊥B₁D₁，交B₁D₁与点H，连接BH，根据题意可得：PH⊥平面BB₁D₁D，可得∠PBH为直线PB与平面BB₁D₁D所成的角．再在△BPH中利用解三角形的有关知识求出答案．

解答：解：过点P作PH⊥B₁D₁，交B₁D₁与点H，连接BH，
由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的结构特征可得：BB₁⊥PH，
又因为PH⊥B₁D₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，
所以PH⊥平面BB₁D₁D，
所以∠PBH为直线PB与平面BB₁D₁D所成的角．
因为AA₁=1，AB=2，P是A₁B₁的中点，
所以BP=

2

；
又因为PH⊥B₁D₁，并且BC=1，AB=2，P是A₁B₁的中点，
所以PH=

5

5

，
所以在△BPH中，sin∠PBH=

PH

BP

=

10

10

．
故答案为：arcsin

10

10

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握作空间角的过程与步骤，作角时一般是由图形的结构及题设条件正确作出空间角来，再利用解三角形的有关进行求解，此题也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．