【题目】如图,斜三棱柱中,是边长为2的正三角形,为的中点,平面,点在上,,为与的交点,且与平面所成的角为.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连结,证明相似得到,得到证明.
(2)以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,平面的法向量为,平面的法向量为,计算夹角得到答案.
(1)连结,为的中点,,,
又,,.
又平面,平面,所以平面.
(2)因为是边长为2的正三角形,为的中点,平面,
所以,,,两两垂直,以,,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.
与平面所成的角为,又∥,与平面所成的角为,
又平面,与平面所成的角为,即.
又是边长为2的正三角形,为的中点,,
由题意知,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,
所以,,即,取,
设平面的法向量为,
由,得,取,
所以,
设二面角的大小为,.
所以二面角的正弦值为.
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【题目】某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品.经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品,从销售数据中随机各抽取50天,统计每日的销售数量,得到如下的频数分布条形图.甲乙两家公司给该超市的日利润方案为:甲公司给超市每天基本费用为90元,另外每销售一件提成1元;乙公司给超市每天的基本费用为130元,每日销售数量不超过83件没有提成,超过83件的部分每件提成10元.
(Ⅰ)求乙公司给超市的日利润(单位:元)与日销售数量的函数关系;
(Ⅱ)若将频率视为概率,回答下列问题:
(1)求甲公司产品销售数量不超过87件的概率;
(2)如果仅从日均利润的角度考虑,请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择,选择哪家公司的产品进行销售?并说明理由.
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【题目】某人将编号分别为1,2,3,4,5的5个小球随机放入编号分别为1,2,3,4,5的5个盒子中,每个盒子中放一个小球若球的编号与盒子的编号相同,则视为“放对”,否则视为“放错”,则全部“放错”的情况有________种.
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
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【题目】如图,在三棱锥S﹣ABC中,SA⊥底面ABC,AC=AB=SA=2,AC⊥AB,D、E分别是AC、BC的中点,F在SE上,且SF=2FE.
(1)求证:平面SBC⊥平面SAE
(2)若G为DE中点,求二面角G﹣AF﹣E的大小.
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【题目】如图,斜三棱柱中,是边长为2的正三角形,为的中点,平面,点在上,,为与的交点,且与平面所成的角为.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
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【题目】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形(杨辉三角)解释了二项和的乘方规律.右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2,3,…时展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列.例:,,,….
(1)写出数列的通项公式(结果用组合数表示),无需证明;
(2)猜想,与的大小关系,并用数学归纳法证明.
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【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合,曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数).
(1)若,是圆上一动点,求点到直线的距离的最小值和最大值;
(2)直线与关于原点对称,且直线截曲线的弦长等于,求的值.
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【题目】国家正积极推行垃圾分类工作,教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》.《通知》指出,到2020年底,各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查(每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个)如图是调查结果的统计图,以下结论正确的是( )
A.回答该问卷的受访者中,选择的(2)和(3)人数总和比选择(4)的人数多
B.回该问卷的受访者中,选择“校园外宣传”的人数不是最少的
C.回答该问卷的受访者中,选择(4)的人数比选择(2)的人数可能多30人
D.回答该问卷的总人数不可能是1000人
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