Question

某公司对工厂A的一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．
（1）求图中x的值；
（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；
（3）经过考察后，该公司决定在2011年年初投资到工厂A50万元，到年底可能获利32%，也可能亏损16%，且这两种情况发生的概率分别为合格产品和不合格产品的概率（若产品净重在[98，104）为合格产品，其余为不合格产品）．设2011年底公司的投资总资产（本金+利润）为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据频率分布直方图中，各矩形的面积和（频率和）为 1，我们易构造关于x的方程，解方程求出x的值，
（2）从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）分为没有产品满足条件，有1件产品满足条件，有2件产品满足条件，三种情况由（1）的结论，我们可求出抽取的产品净重在[96，98）的概率，代入相互独立事件概率乘法公式，即可得到答案．
（3）由于 该公司决定在2011年年初投资到工厂A50万元，到年底可能获利32%，也可能亏损16%，故ξ的取值有66和42两种情况，构造随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到答案．

解答：解：（1）依题意及频率分布直方图知，（x+0.075+0.100+0.125+0.15）×2=1，（2分）
解得x=0.05…（3分）
（2）设所抽取到得产品的件数为X，由题意知，X～B（3，0.1），因此

P(X=0)= C 0 3 ×0.93=0.729 P(X=1)= C 1 3 ×0.1×0.92=0.243 P(X=2)= C 2 3 ×0.12×0.9=0.027

…（5分）
所以至多有2件产品的净重在[96，98）的概率P=P（x=0）+P（x=1）+P（x=2）=0.729+0.234+0.027=0.999．…（7分）
（3）ξ可能的值为：50×（1+32%）=66（万元）
50×（1-16%）=42（万元）    …（8分）
P(ξ=66)=

3

4

P(ξ=42)=

1

4

…（10分）

ξ	66	42
P	3 4	1 4

故ξ的分布列为
…（11分）∴Eξ=66×

3

4

+42×

1

4

=60（万元）．…（12分）

点评：本题主要考查频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的期望等知识，立足考查数据处理能力、计算能力和解决实际问题的能力．