Question

已知P是抛物线y²=2x上的点，点M（m，0），试求点P与点M的距离的最小值（其中m∈R）．

Answer 1

分析：先设P点坐标为（x₀，y₀），利用两点间的距离公式求出点P与点M的距离的表达式；再结合二次函数在固定区间上的最值求法即可求出点P与点M的距离的最小值．

解答：解：设P点坐标为（x₀，y₀），
则d=|PM|=

(x0-m)2+(y0-0)2

=

x02+y02-2mx0+m2

=

x02+(2-2m)x0+m2

(x0≥0)
令t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）则其对称轴为x₀=m-1
（1）当m-1＜0即m＜1时
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²在x₀≥0时为增函数，
所以dmin=

t|x0=0

=|m|=m
（2）当m-1≥0即m≥1时，
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）在（0，m-1）上递减，在（m-1，+∞）上递增，
所以：dmin=

t|xo=m-1

=

2m-1

综上所述，当m＜1，点P与点M的距离的最小值为m；
          当m≥1，点P与点M的距离的最小值为

2m-1

．

点评：本题主要考查二次函数在固定区间上的最值求法．在求二次函数在固定区间上的最值时，一定要注意分对称轴在区间左边，对称轴在区间右边以及对称轴在区间中间三种情况来讨论，以免出错．