Question

3．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC． 过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3$\sqrt{5}$，BD=4则线段AF的长为$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$．

Answer 1

分析 由切割线定理得到AE²=EB•ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知条件推导出四边形AEBC是平行四边形，从而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3$\sqrt{5}$，由△AFC∽△DFB，能求出CF的长．

解答 解：∵AB=AC，AE=3$\sqrt{5}$，BD=4，
梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，
由切割线定理可知：AE²=EB•ED=EB（EB+BD），
即45=BE（BE+4），解得EB=5，
∵AC∥BD，∴AC∥BE，
∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，
∴∠BAE=∠C，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，
∴BC=AE=3$\sqrt{5}$，
∵△AFC∽△DFB，∴$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CF}{BF}$，即$\frac{5}{4}$=$\frac{CF}{3\sqrt{5}-CF}$，
解得CF=$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$．

点评 本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．