Question

已知f（x）定义域为R，满足：
①f（1）=1＞f（-1）；
②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）是否存在常数A，B，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立．如果存在，求出常数A，B的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）取x=y=1，得f（1-1+1）=f（1）•f（1）+f（1-1）•f（1-1），
即f（1）=f²（1）+f²（0）．
因为f（1）=1，所以f（0）=0．
取x=y=0，得1=f（1）=f²（-1）．因为f（1）=1＞f（-1），
所以f（-1）=-1．
取x=0，y=2，得f（3）=f（0）•f（2）+f（-1）•f（1），
所以f（3）=-1；
（Ⅱ）在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）
中取y=1得f（2-x）=f（x）．
所以f（1+x）=f（1-x）．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取y=x，
得f²（x）+f²（x-1）=1．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取x=0，
得f（y+1）=f（0）f（y）+f（-1）f（y-1）=-f（y-1）．
所以f（-2）=0．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取y=-1，
得f（-x）=f（x）f（-1）+f（x-1）f（-2）．
所以f（-x）=-f（x）．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取y=-x，
得f（1-2x）=f（x）f（-x）+f（x-1）f（-x-1）
=-f²（x）-f（x-1）f（x+1）
=-f²（x）-f（x-1）f（1-x）
=-f²（x）+f²（x-1）=1-2f²（x）．
所以对任意实数x均成立．
所以．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（2-x）=f（x），
∴|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2?|2f（x）+Ax+B|≤2，
在|2f（x）+Ax+B|≤2中，
取x=-1，得-2≤-2-A+B≤2，即-2≤2+A-B≤2①
取x=1，得-2≤2+A+B≤2②
取x=3，得-2≤-2+3A+B≤2，即-2≤2-3A-B≤2③
②+①得A≤0，②+③得A≥0．∴A=0．
将A=0代入①得B≥0．
将A=0代入②得B≤0．∴B=0．
由（Ⅱ）知f²（x）+f²（x-1）=1，所以|f（x）|≤1对一切实数x成立．
故当A=B=0时，|2f（x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立．
∴存在常数A=B=0，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立，
且A=B=0为满足题设的唯一一组值．
分析：（1）取x=y=1，利用f（1）=1，求出f（0）=0；取x=y=0，求出f（-1）=-1；再取x=0，y=2，可求f（3）=-1．
（Ⅱ）在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中，取y=1得f（2-x）=f（x）；取y=x，得f²（x）+f²（x-1）=1；取x=0，得f（-2）=0；取y=-1，f（-x）=-f（x）；取y=-x，得f（1-2x）=1-2f²（x），所以，对任意实数x均成立．
（Ⅲ）将一致的不等式进行等价转化为?|2f（x）+Ax+B|≤2，令x分别等于1、-1、3，可得A、B的值，再由（Ⅱ）知：f（x）|≤1对一切实数x成立，故当A=B=0时，|2f（x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立．从而得到结论．
点评：本题考查抽象函数的性质及应用，体现等价转化的数学思想．