Question

设函数f（x）=e^2x+|e^x-a|，（a为实数，x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）若g（x）=x^a在（0，+∞）单调减，求满足不等式f（x）＞a²的x的取值范围；
（3）求函数f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

分析：（1）利用反证法，假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），推出矛盾结果，即可证明函数f（x）不是奇函数；
（2）利用g（x）=x^a在（0，+∞）单调减，求出a的范围，然后解不等式f（x）＞a²，求出x的取值范围；
（3）通过当a≤0，0≤a≤

1

2

，a≥

1

2

，分别求函数f（x）的值域（用a表示）即可．

解答：解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），
而x∈R，则f（0）=0，而f（0）=e⁰+|e⁰-a|=1+|1-a|≠0，故假设不成立，
从而函数f（x）不是奇函数．
（2）因g（x）=x^a在（0，+∞）单调减，
则a＜0，e^2x+|e^x-a|=e^2x+e^x-a＞a²
则（e^x-a）（e^x+a+1）＞0，
而（e^x-a）＞0，则e^x＞-a-1，
于是x＞ln[-（a+1）]；
（3）设e^x=t，则t＞0，y=f（x）=t²+|t-a|，
当a≤0时，y=f（x）=t²+t-a在t＞0时单调增，则f（x）＞f（0）=-a；
当0≤a≤

1

2

时，y=f（x）=t²+t-a≥f（a）=a²；
当a≥

1

2

时，y=f(x)=t2+t-a≥f(

1

2

)=a-

1

4

；
故当a≤0时，f（x）的值域为（-a，+∞）；
当0≤a≤

1

2

时，f（x）的值域为（a²，+∞）；
当a≥

1

2

时，f（x）的值域为(a-

1

4

，+∞)．

点评：本题考查函数的单调性的应用，函数的值域的求法，分类讨论思想的应用，考查转化思想计算能力．