Question

给出如下五个结论：
①存在α∈（0，

π

2

）使sinα+cosα=

1

3

②存在区间（a，b）使y=cosx为减函数而sinx＜0
③y=tanx在其定义域内为增函数
④y=cos2x+sin（

π

2

-x）既有最大、最小值，又是偶函数
⑤y=|sin（2x+

π

6

）|最小正周期为π
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：把sinα+cosα化积后由α的范围求出其值域判断①；
求出y=cosx的减区间判断②；
由正切函数的单调性判断③；
利用倍角公式和诱导公式化简原函数后判断④；
求出y=sin（2x+

π

6

）的最小正周期后得y=|sin（2x+

π

6

）|最小正周期判断⑤．

解答： 解：对于①，sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，
∵α∈（0，

π

2

），
∴α+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)，∴sinα+cosα＞1．命题①错误；
对于②，若y=cosx为减函数，则x∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，sinx≥0．命题②错误；
对于③，y=tanx在其定义域内不是增函数，在其定义域内有无数增区间．命题③错误；
对于④，y=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1，该函数既有最大、最小值，又是偶函数．命题④正确；
对于⑤，∵y=sin（2x+

π

6

）的最小正周期为2π，∴y=|sin（2x+

π

6

）|最小正周期为π．命题⑤正确．
∴正确的命题是④⑤．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的性质，是中档题．