Question

已知函数f(x)=

x2+x+a

x

(x≠0，a∈R)
（Ⅰ）当a＜0时，证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）用定义法证明先取任意的0＜x₁＜x₂，代入解析式作差，判断差的符号，然后由定义得出结论．
（II）不等式恒成立，即f（x）_min＞0．因此利用（I）得出的单调性，进而得出它在[1，+∞）上的最小值，或不等式恒成立?x²+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立，再研究y=x²+x+a的单调性．最后通过解不等式2+a＞0，即可得出答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

x2+x+a

x

=x+

a

x

+1(x≠0)
设任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，…（1分）
f(x1)-f(x2)=

x

1

+

a

x1

-

x

2

-

a

x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)…（4分）
∵0＜x₁＜x₂，a＜0，
∴x1-x2＜0 ， 1-

a

x1x2

＞0 ， (x1-x2)(1-

a

x1x2

)＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）…（6分）
所以，函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，…（7分）
（Ⅱ）解法1：当a≥0，x∈[1，+∞）时，函数f（x）＞0，…（9分）
当a＜0时，由（Ⅰ）知：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，…（10分）
故当x=1时，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是当且仅当f（x）_min=2+a＞0，函数f（x）＞0恒成立，故-2＜a＜0．
综上所述，所求实数a的取值范围是（-2，+∞）…（14分）
解法2：：f(x)=

x2+x+a

x

＞0，x∈[1，+∞）恒成立，?x²+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立．…（9分）
设y=x²+x+a，x∈[1，+∞）
∵y=x2+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

，在区间[1，+∞）上是增函数，…（10分）
∴当x=1时，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是当且仅当f（x）_min=2+a＞0，函数f（x）＞0恒成立，故a＞-2．
所以，所求实数a的取值范围是（-2，+∞）．…（14分）

点评：本题考查函数恒成立问题及函数单调性的判断与证明．用定义法证明函数的单调性要注意证明的格式即：作取，作差，整理，判号，得出结论．